לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

Transcript

1 לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים מבוא תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד הגדרות בסיסיות הפרדוקס של ראסל כמה סימונים לוגיים טענות בסיסיות על קבוצות פעולות על קבוצות איחוד חיתוך חיסור ומשלים קבוצת החזקה זוגות סדורים ומכפלה קרטזית איחודים וחיתוכים כלליים בניית המספרים הטבעיים יחסים מבוא והגדרות כלליות יחסי שקילות הגדרה ודוגמאות קבוצת המנה דוגמאות נוספות פונקציות הגדרה ודוגמאות פונקציות חד חד ערכיות, פונקציות על ופונקציות הפיכות קבוצות של פונקציות ומכפלות קרטזיות, גרסה כללית הגדרה אינדוקטיבית של קבוצות עוצמות 4 22 מדידת גדלים של קבוצות קבוצות אינסופיות קבוצות בנות מניה האלכסון של קנטור תחשיב הפסוקים 5 28 התחביר של תחשיב הפסוקים הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים מערכות שלמות של קשרים סמנטיקה נביעה לוגית צורות נורמליות מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים מבוא מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים הוכחות ומשפט הדדוקציה

2 5.6.4 עקביות של קבוצת פסוקים הוכחת משפט השלמות משפט הקומפקטיות לתחשיב הפסוקים גדירות בתחשיב הפסוקים תחשיב היחסים מבוא התחביר של תחשיב היחסים הסמנטיקה של תחשיב היחסים הצורה הנורמלית. Prenex מערכת הוכחה לתחשיב היחסים ומשפט השלמות והנאותות גדירות בתחשיב היחסים (מבוא לתורת המודלים) גדירות עבור תורת הגרפים גדירות של תכונות של גרפים משחקי. EhrenfeuchtFraïssé תורות שלמות: כללי ה 1 0 של גרפים ומבחן. Lo±-Vaught סיכום: התוכנית של הילברט ומשפטי אי השלמות של גדל התוכנית של הילברט משפטי אי השלמות של גדל סקירה של הוכחת משפט אי השלמות הראשון סיום ההוכחה משפט אי השלמות השני של גדל כמה תפיסות שגויות של משפטי גדל אחרית דבר לידתה של תורת החישוביות מבוא בקורס זה יילמדו שני הנושאים שעומדים בבסיס המתמטיקה המודרנית תורת הקבוצות ולוגיקה מתמטית. נפתח בתיאור לא פורמלי שלהן. לוגיקה מתמטית היא הענף במתמטיקה שעוסק בהגדרות והוכחות מתמטיות. עד לתקופת יוון העתיקה, הידע המתמטי בא לידי ביטוי בשיטות היוריסטיות לפתרון בעיות קונקרטיות. האופן שבו הוסק ידע מתמטי היה באמצעות ניסוי וטעיה והערכה. היוונים הקדמונים שינו מן הקצה אל הקצה את הגישה למתמטיקה: לגישתם, אמיתות מתמטיות היה צריך להוכיח, כלומר להסיק באופן הגיוני מתוך הנחות בסיס פשוטות ומובנות מאליהן ("אקסיומות"). בנוסף, העיסוק במתמטיקה הפך למטרה בפני עצמה ולא רק ככלי עזר לביצוע מטלות מעשיות. שיאה של המתמטיקה היוונית הוא ספרו של אוקלידס "יסודות", שבו הוא ריכז וערך את הידע המתמטי של תקופתו. הספר כולל הגדרות, אקסיומות והוכחות של משפטים בגאומטריה (ובתורת המספרים האלמנטרית). כך למשל מושגי יסוד המופיעים בו הם "נקודה", "קו", "זווית", "חפיפה", והאקסיומות המופיעות בו הן: 1. דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר אחד ויחיד. 2. כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר. 3. בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת ורדיוסו שווה לקטע הנתון. 4. כל הזווית הישרות חופפות זו לזו. 5. בהינתן ישר ונקודה מחוץ לישר, ניתן להעביר דרכה מקביל אחד ויחיד לישר הנתון (במקור אקסיומה זו נוסחה בצורה שונה). מחמש אקסיומות אלו אוקלידס גוזר את משפטי הענף שנקרא על שמו גאומטריה אוקלידית, ונלמד גם כיום בבתי הספר. "שיטת העבודה" של אוקלידס הגדרות, אקסיומות ומשפטים היא עד היום שיטת העבודה המקובלת במתמטיקה ואותה נבחן בקורס זה. האקסיומה החמישית של אוקלידס נראתה מאז ומעולם "לא אלגנטית" עבור המתמטיקאים שניסו להוכיח כי היא נובעת מארבע האקסיומות האחרות. במשך כאלפיים שנים לא הייתה כל התקדמות במאמצים אלו, אף שפורסמו אלפי "הוכחות", 2

3 כולל כאלו של גדולי המתמטיקאים, שנתגלו כשגויות (עקב הנחות סמויות קשות לאיתור). במאה ה 19 הוכיחו לובצ'בסקי ובולאי (כל אחד בנפרד) כי האקסיומה החמישית אינה ניתנת להוכחה מבין היתר, שכן קיימת גאומטריה בה היא אינה נכונה. כלומר, קיים "עולם" אשר מקיים את ארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס אך לא את החמישית (תחת זאת, דרך נקודה שמחוץ לישר ניתן להעביר לו לפחות שני מקבילים). "עולם" זה נקרא גאומטריה היפרבולית. במרוצת השנים נתגלו גאומטריות נוספות שבהן אקסיומות המקבילים ואקסיומות נוספות אינן נכונות (ראויה במיוחד לציון גישתו של ברנהרד רימן לגאומטריה, שהראתה קיום של אינסוף גאומטריות שונות מהותית זו מזו, והכלים המתמטיים שפותחו כדי לטפל בסיטואציות אלו שימשו בסופו של דבר בפיתוח תורת היחסות הכללית). גילויים אלו גרמו להתערערות של תפיסות יסודיות בעולם המתמטי. "אקסיומות" איבדו את המעמד של "עובדות בסיסיות שאין עליהן עוררין" והגישה הרווחת אליהן כיום היא כאל "הנחות יסוד לצורך פיתוח מערכת מתמטית ספציפית". בנוסף, הגאומטריה איבדה את מעמדה בתור התחום שעליו מתבססת שאר המתמטיקה, שכן אם ישנה יותר מגאומטריה אחת, כיצד ניתן לדעת על איזו מהן לבסס את המתמטיקה? לקראת סוף המאה ה 19 מעמד "המושג שעליו מתבסס המתמטיקה" עבר אל מושג הקבוצה. באמצעות קבוצות ניתן היה לבנות את שאר האובייקטים המתמטיים המקובלים מספרים, פונקציות, מרחבים וכדומה, וקבוצות הפכו להיות (ונותרו) המושג הנפוץ ביותר במתמטיקה. בנוסף, המתמטיקאי גאורג קנטור גילה תכונות מפתיעות של קבוצות אינסופיות בפרט, את קיומם של אינסוף גדלים שונים של אינסוף. לרוע המזל, בתחילת המאה ה 20 בתורת הקבוצות התגלו גם פרדוקסים קבוצות שמעצם הגדרתן נבעה סתירה. הדבר אילץ את המתמטיקאים לנסח מחדש באופן זהיר את תורת הקבוצות; ניסוח חדש ומדויק זה נעשה באמצעות כלים שפותחו במאה ה 19 ובפרט בעבודתו של גוטלוב פרגה (אף שפרגה עצמו לקח קשה את גילוי הפרדוקסים בתורת הקבוצות שהצביעו על בעיות באופן שבו הוא ניסח את המתמטיקה). באותה התקופה נוסחה מחדש גם הגאומטריה האוקלידית על ידי הילברט, באופן שהתאים לסטנדרטים החדשים של דיוק מתמטי; בהשראת עבודה זו, הילברט הציע גם מערכת אקסיומטית למספרים הממשיים, ולאחר מכן הציב לעצמו יעד שאפתני אף יותר למצוא מערכת אקסיומות לכל המתמטיקה שתהיה חפה מפרדוקסים, מבוססת על אקסיומות פשוטות ביותר ("סופיות") ושהוכחות בה יוכלו להימצא ולהיבדק באופן אוטומטי מכני לחלוטין (מחשבים עוד לא היו קיימים אז). אם מערכת אקסיומות כזו הייתה מתגלה, היה זה ההישג המתמטי הגדול ביותר אי פעם, והחיפוש אחר מערכת כזו הלהיב את העולם המתמטי בשנות ה 20 ונתן לענף הלוגיקה דחיפה משמעותית קדימה. לרוע המזל, בשנת 1931 הוכיח לוגיקאי צעיר בשם קורט גדל כי מערכת כזו אינה יכולה להתקיים; לכל מערכת אקסיומות חפה מפרדוקסים וניתנת לבדיקה מכנית שעדיין מנסה למדל את כל המתמטיקה (ובפרט את המספרים הטבעיים) יהיו קיימים משפטים מתמטיים שאינם ניתנים להוכחה או להפרכה ממערכת זו. דוגמה בולטת לבעיה זו היא השערת הרצף שעוסקת בקיום קבוצות אינסופיות מסויימות, והוכח (על ידי שילוב עבודות בלתי תלויות של קורט גדל ופול כהן) כי לא ניתן להוכיח או להפריך אותה מהאקסיומות הסטנדרטיות של תורת הקבוצות. סקירה היסטורית זו מצביעה על הנקודות שעליהן יינתן דגש בקורס: 1. הגדרות מדויקות והוכחות פורמליות: חשיבותן של אלו כאשר עוסקים במושגים יסודיים היא ברורה, שכן כל הנחה סמויה יכולה להוביל לתוצאות שגויות. בדרך כלל במתמטיקה הקפדנות אינה כה גדולה כשם שתהיה בקורס זה משום שהדבר יהפוך טקסטים מתמטיים לארוכים וקשים מדי לקריאה, אך כאן אנו עוסקים בנושאים פשוטים דיים כדי שנוכל להקפיד. 2. תורת הקבוצות הנאיבית: בקורס זה נלמד את ההגדרות והמושגים הבסיסיים בתורת הקבוצות שכן הם שימושיים ביותר בכל תחומי המתמטיקה. כמו כן נלמד מקצת מתורת קנטור על גדלים שונים של אינסוף ("עוצמות"). נציג פרדוקסים שמתעוררים בתורת הקבוצות עקב הגדרה חופשית מדי של "קבוצה", אך לא נתעמק באופן שבו בעיה זו מטופלת על ידי מערכת אקסיומות מגבילה לתורת הקבוצות. עם זאת, כל מה שנלמד ניתן לניסוח גם במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית כך שאיננו מוכיחים דברים שגוים בשום שלב. 3. לוגיקה מתמטית תחביר אל מול משמעות. מצד אחד, נעסוק באופן שבו משפטים ואקסיומות בלוגיקה הם רצפי תווים שנבנים ונגזרים בהתאם לכללי תחביר מסויימים; מצד שני, נבין כיצד נותנים משמעות לרצפי התווים הללו והקשר בין התחביר והמשמעות (ששיאו בהוכחת טענות מסוג "ניתן להוכיח פורמלית טענה מתוך אקסיומות אם ורק אם הטענה נובעת מתוך האקסיומות"). 2 תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד 2.1 הגדרות בסיסיות המושג הבסיסי בתורת הקבוצות הוא, כצפוי, קבוצה. קבוצה מורכבת מאפס או יותר איברים, אשר בגישתנו הנאיבית יכולים להיות כל דבר שהוא. 3

4 קבוצה מסומנת לרוב באופן מפורש באמצעות סוגריים מסולסלים ובתוכם פירוט של איברי הקבוצה: {7,1},2,5 היא הקבוצה שמכילה את המספרים הטבעיים 1,2,5,7. {מגדל אייפל, Dog,16},π היא קבוצה שמכילה את המספר הטבעי 16, המספר האי רציונלי פאי, המילה Dog והביטוי "מגדל אייפל". בפרט, איברי הקבוצה אינם חייבים להיות כולם מאותו "סוג". }...,3,0},1,2 = N היא הקבוצה שכוללת את כל המספרים הטבעיים. מכיוון שיש אינסוף כאלו לא כותבים את כולם במפורש אלא מסתפקים בכתיבת האיברים הראשונים ושלוש נקודות שמשמעותן המדוייקת היא "ומכאן והלאה ממשיכים על פי אותו כלל" (ההנחה היא שהקורא מסוגל להבין מהו הכלל; קיימת הגדרה מדוייקת יותר למספרים הטבעיים). לעתים קרובות קבוצה מתוארת באופן הבא: {תנאי על האיבר איבר}= A. דוגמאות יינתנו בהמשך. איבר יכול להיכלל בקבוצה בדיוק פעם אחת. אם הוא מופיע יותר מפעם אחת, הוא נספר בדיוק פעם אחת. כלומר,.{1, 1, 1} = {1} קבוצות מסומנות לרוב באותיות לטיניות גדולות מראשית הא"ב:,A.,B C עם זאת, משתמשים בסימונים רבים ושונים בהתאם למשמעות שאנו מייחסים לקבוצה. אם איבר x שייך לקבוצה A מסמנים זאת על ידי x. A אם x אינו שייך לקבוצה A מסמנים זאת x. / A הנחת יסוד: לכל x ולכל קבוצה A, או שמתקיים x A או שמתקיים x / A ולא ייתכן ששניהם מתקיימים בו זמנית. הנחת יסוד: בהינתן שתי קבוצות,A, B אם לכל x A מתקיים x B ובנוסף לכך לכל y B מתקיים y A אז A = B (בתורת הקבוצות האקסיומטית זוהי אקסיומת ההיקפיות). הנחת יסוד: קיימת קבוצה A כך שלכל x מתקיים x. / A הקבוצה A הזו נקראת הקבוצה הריקה ומסומנת ב ולפעמים ב {} (בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת הקבוצה הריקה דורשת במפורש את קיום הקבוצה הזו). כדאי לחשוב על קבוצות כעל "קופסאות", ואז הקבוצה הריקה היא פשוט קופסה ריקה. אם לכל x A מתקיים x B אז מסמנים זאת על ידי A B ואומרים ש " A מוכלת ב B ", או ש" A היא תת קבוצה של B". אם בנוסף לכך קיים y B כך ש A y / אז מסמנים זאת על ידי A B (ולעתים A B כדי למנוע בלבול; לרוע המזל, יש ספרים שמשתמשים ב B A במשמעות של A) B ואומרים ש " A מוכלת ממש ב B ". נציג כעת דוגמאות נוספות לקבוצות: 1. }...,3,1},2 = + N קבוצת המספרים הטבעיים ללא אפס (יש המגדירים מראש שאפס איננו מספר טבעי; כפי שנראה בהמשך, עבורנו יהיה נוח להגדיר את 0 כמספר טבעי)..2 }... 2, 1, 0, 1, 2,,.. {. = Z המספרים השלמים. שימו לב כי תיארנו אותה עם שלוש נקודות "בשני הכיוונים". a b ובצד Q = { a המספרים הרציונליים. שימו לב לסגנון הכתיבה: בצד שמאל כתוב איבר b a, b Z and b 0}.3 ימין כתובים התנאים עליו,a b שניהם שלמים, ו 0 b. 4. R קבוצת המספרים הממשיים שלא תוגדר במפורש (ההגדרות הסטנדרטיות מתבססות על חתכי דדקינד או על סדרות קושי והבנתן דורשת היכרות כלשהי עם חשבון אינפיניטסימלי)..5 1} x {x R 0 = 1] [0, הקטע הסגור שמכיל את כל המספרים הממשיים בין 0 ל 1 כולל. 6. {1 < x x} 0 R < = (1,0) הקטע הפתוח שמכיל את כל המספרים הממשיים בין 0 ל 1 לא כולל. 7. { } = A היא קבוצה בעלת איבר בודד, ואיבר זה הוא הקבוצה הריקה. נשים לב לכך ש A כי ל אין איברים ול A יש. 8. {A} A = היא קבוצה שמכילה איבר בודד את עצמה. הגדרה זו נראית מוזרה מאוד אבל לבינתיים נתיר אותה. 4

5 2.2 הפרדוקס של ראסל נציג כעת במפורש בעיה שעשויה להיווצר משימוש חופשי מדי בהגדרות שנתנו. נגדיר את הקבוצה הבאה: X ={A A / A קבוצה וגם A} במילים X היא קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן. הגדרה זו מובילה לפרדוקס הבא: X אינה יכולה להיות איבר של עצמה, אבל גם אינה יכולה שלא להיות איבר של עצמה, שכן: אם X X אז על פי הקריטריון שמגדיר שייכות ל X מתקיים X / X סתירה להנחת היסוד שלנו שאיבר לא יכול להיות שייך ולא שייך בו זמנית לקבוצה. אם X / X אז בפרט X אינה מקיימת את הקריטריון של שייכות ל X, כלומר X אינה מקיימת את התכונה X / X ולכן X X ושוב הגענו לסתירה. המסקנה מהפרדוקס של ראסל היא שלא כל קבוצה שניתן להגדיר באופן מילולי אכן קיימת. בפועל, ה"סכנה" ליפול על הגדרות לא הגיוניות היא זניחה ברוב תחומי המתמטיקה. בנוסף לכך, אם A היא קבוצה "חוקית", אז כל קבוצה שמוגדרת בתור {x מקיים תכונה מסויימת A x} גם היא קבוצה חוקית (בתורת הקבוצות האקסיומטית תכונה זו נקראת אקסיומת ההחלפה). הקבוצות שבהן נעסוק בקורס יוגדרו באופן זה או באמצעות מספר בניות "תקינות" שיוצגו בהמשך, כך שהפרדוקס של ראסל (ופרדוקסים דומים לו) לא ישפיעו על המשך דרכנו. 2.3 כמה סימונים לוגיים על מנת לפשט כתיבה של ביטויים והוכחות מתמטיות בהמשך, נציג מספר סימונים שבהם נהוג להשתמש בלוגיקה..Q = { a במקום "וגם" נהוג להשתמש בסימן. כך למשל 0} b b a Z b Z במקום "או" נהוג להשתמש בסימן. אם,C D הם שני תנאים, אז C D פירושו "או ש C מתקיים, או ש D מתקיים, או ששניהם מתקיימים". אם C היא טענה, אז השלילה של C מסומנת ב C או. C השלילה של C נכונה אם C אינה נכונה, ולהפך. אם,C D הן טענות אז הטענה C D (קרי: "C גורר את D") היא קיצור של C. D כלומר, היא טענה שנכונה באחד משני המקרים הבאים: אם C נכונה וגם D נכונה. אם C לא נכונה. אם C, D הן טענות אז הטענה C D (קרי: C" שקול ל D ") היא קיצור של C).(C D) (D כלומר, היא טענה שנכונה באחד משני המקרים הבאים: אם C נכונה וגם D נכונה. אם C לא נכונה וגם D לא נכונה. ההגדרה של C D עשויה לגרום לקשיים עם האינטואיציה. כך למשל הטענה "אם מגדל אייפל נמצא בלונדון, אז = 3 π" היא נכונה לחלוטין שכן הרישא של הטענה ("מגדל אייפל נמצא בלונדון") שגוי. גם טענה כמו "אם מגדל אייפל נמצא בפריז אז < 5 π" היא נכונה לחלוטין למרות שהטענה נשמעת מוזרה. האינטואיציה מצפה שאם מתקיים ש D C אז יהיה קשר לוגי ברור בין C ו D, אולם בהגדרה שנתנו קשר שכזה כלל לא נדרש. משפטים מתמטיים רבים מנוסחים בסגנון "אם A אז B" שמשמעותו A. B או בסגנון "A רק אם B" שמשמעותו.B A משפטים אחרים מנוסחים בסגנון "A אם ורק אם B" שמשמעותו A B (מקוצר לפעמים בתור "אםם", ובאנגלית.(i הוכחה של טענה מהצורה "A גורר B" מתחילה לרוב מההנחה ש A נכונה, ואז שרשרת טענות שנובעות זו מזו, ובסופו של דבר הגעה ל B. 5

6 הוכחה של טענה מהצורה "A אם ורק אם B" דורשת הוכחה של שני כיוונים שונים: צריך להוכיח את "אם A אז B" וגם את "אם B אז A". לפעמים הוכחת שני הכיוונים זהה או דומה מאוד ולכן ניתן לקצר, אבל באופן כללי הוכחה שאיננה דו כיוונית היא שגויה. לעתים במקום להוכיח את "A גורר B" נוח יותר להוכיח את "B גורר A " אשר שקול לוגית ל " A גורר B". לעתים מבלבלים זאת עם הוכחה בשלילה, שבה כדי להוכיח טענה מניחים את שלילתה ומגיעים לסתירה, אך הוכחה בשלילה היא שיטה כללית יותר (הסתירה אינה חייבת להיות A דווקא). במקום לכתוב "קיים" נהוג לכתוב ובמקום לכתוב "לכל" נהוג לכתוב. כך למשל הגדרת הגבול lim x x0 f (x) = L בחדו"א נכתבת כ ε > 0 ( δ > 0 ( x x 0 < δ f (x) L < ε)) 2.4 טענות בסיסיות על קבוצות נתחיל בהוכחה של מספר "משפטים" מועילים שגם יעזרו לנו לקבל תחושה לגבי אופי ההוכחות בקורס: טענה 2.1 יהיו A, B קבוצות. אז A = B אם ורק אם A B B A (אנטי סימטריות יחס ההכלה). הוכחה: כיוון אחד: נניח ש B A. = יהי x. A מכיוון ש B A = בפרט יש להן אותם איברים, ולכן x B ולכן A. B באותו האופן מוכיחים B. A כיוון שני: נניח ש A.A B B אם x A אז מכיוון ש B A מתקיים.x B אם y B אז מכיוון ש A B מתקיים y. A מהנחת היסוד שלנו ("אקסיומת ההיקפיות") נובע ש B A. = טענה 2.2 לכל קבוצה A מתקיים A. הוכחה: אנו רוצים להוכיח שאם x אז x. A מכיוון שאין x, הרישא של הטענה אינה נכונה ולכן הטענה כולה נכונה. במקרה כזה, שבו אנו מוכיחים טענה בסגנון C D והטענה נכונה שכן C תמיד אינה נכונה, אומרים ש D C מתקיים "באופן ריק". ניתן להוכיח את הטענה גם בצורה שונה שפחות מפריעה לאינטואיציה: ברור כי אם x / A אז / x שכן לכל x מתקיים ש / x, אולם ניסוח זה שקול לחלוטין לניסוח הקודם. דרך נוספת לראות את ההוכחה: הטענה A שגויה אם ורק אם קיים x כך ש A x, / אולם מכיוון שלא קיים x לא ניתן להציג דוגמה נגדית שכזו. משתי הטענות הללו ניתן להסיק: מסקנה 2.3 קיימת קבוצה ריקה אחת ויחידה. כלומר, אם,A B שתיהן קבוצות ריקות אז A. = B הוכחה: אם A ריקה אז היא תת קבוצה של כל קבוצה אחרת ובפרט A. B באותו אופן B A ולכן A. = B זו דוגמה לשיטת פעולה מקובלת בטקסטים מתמטיים אחרי הוכחת משפטים "כבדים" יחסית מביאים מסקנות מיידיות שנובעות מהם בקלות. טענה 2.4 לכל קבוצה A מתקיים A A (רפלקסיביות יחס ההכלה). הוכחה: טריוויאלי. גם זו שיטת הוכחה מקובלת: כאשר הטענה כל כך קלה עד שהקורא יכול להשלים אותה בעצמו ללא כל קושי נוהגים להשמיט את ההוכחה (לעתים ההוכחה שיש להשלים היא לא מיידית כלל ודורשת עבודה מצד הקורא אך לא יותר מדי חשיבה יצירתית). טענה 2.5 אם A B וגם B C אז A C (טרנזיטיביות יחס ההכלה). 6

7 אינטואיציה ניתן לקבל באמצעות דיאגרמת ון שבה כל קבוצה מצויירת כעיגול ומתקיימים בין העיגולים יחסי ההכלה המתאימים. כאן A היא עיגול שנמצא בתוך העיגול של B שנמצא בתוך העיגול של C ולכן גם אם יימחק העיגול של B עדיין העיגול של A יהיה בתוך העיגול של C. זו אינה הוכחה. הוכחה: יהי x. A מכיוון ש B A אז x A גורר x. B מכיוון ש C B אז x B גורר.x C ראינו כי אם x A אז,x C כנדרש. 2.5 פעולות על קבוצות בהינתן קבוצה (או מספר קבוצות), אנו רוצים לעתים קרובות ליצור מהם קבוצות חדשות באופן מסויים. נציג כאן את הבניות הנפוצות ביותר. כל הבניות שנציג מקיימות את התכונה שאם אנו מתחילים עם קבוצה "חוקית" אז גם התוצאה היא קבוצה "חוקית", ולכן בעיות דוגמת זו שהפרדוקס של ראסל הצביע עליהן לא יהיו רלוונטיות עבורנו. בכל ההגדרות,A B הן קבוצות כלשהן. נשתמש בסימן כדי לומר "מוגדר כ " איחוד הגדרה 2.6 איחוד: {B A B {x x A x (האיחוד של שתי קבוצות כולל את כל האיברים שיש לפחות באחת מהן). בתורת הקבוצות האקסיומטית משתמשים באקסיומת האיחוד כדי לבטא את ההנחה שאם,A B הן קבוצות אז הקבוצה A B קיימת. נציג מספר תכונות בסיסיות של איחוד: טענה 2.7 איחוד מקיים את התכונות הבאות:.1 C) (A B) C = A (B (אסוציאטיביות האיחוד)..2 A A B = B (קומוטטיביות האיחוד). A B A B = B.3 4. A A = (הקבוצה הריקה היא איבר אדיש ביחס לאיחוד). הוכחה: כדי לקבל אינטואיציה, נוח לצייר את דיאגרמת ון של כל המקרים אסוציאטיביות: x (A B) C x A B x C (x A x B) x C x A (x B x C) x A (x B C) x A (B C) בהוכחה זו אנו רואים כי אסוציאטיביות פעולת האיחוד נובעת בסופו של דבר מאסוציאטיביות האופרטור הלוגי, שאותה לא הוכחנו (אך ניתן להוכיח באמצעות טבלת אמת ונראה זאת בהמשך הקורס). קומוטטיביות מוכחת באופן דומה לאסוציאטיביות, תוך התבססות על קומוטטיביות. נעבור לתכונה.3 ראשית נניח כי A B = B ונוכיח כי.A B יהי,a A אז בפרט,a A B = B כלומר,a B כלומר.A B כעת נניח כי A B ונוכיח כי : A B = B בכיוון אחד, אם x B אז בוודאי ש ( B (x A x ולכן x A B (זה נכון תמיד, ללא תלות בתכונה.(A B בכיוון השני, אם x A B אז אחד משניים: או ש B x, וזה מה שעלינו להראות, או ש A x, ומכך ש B A נובע ש B x ושוב קיבלנו את מה שרצינו להראות. תכונה 4 נובעת כעת מתכונה 3 ומכך ש A. 7

8 2.5.2 חיתוך הגדרה 2.8 חיתוך: {B A B {x x A x (החיתוך של שתי קבוצות כולל את כל האיברים שנמצאים בשתיהן). התכונות של חיתוך מזכירות את אלו של איחוד: טענה 2.9 חיתוך מקיים את התכונות הבאות:.1 C) (A B) C = A (B (אסוציאטיביות החיתוך)..2 A A B = B (קומוטטיביות החיתוך). A B A B = A.3 A =.4 הוכחה: הוכחת תכונות 1 ו 2 זהה לחלוטין להוכחה עבור איחוד, פרט לכך ש תופס את מקום (ואנו מתבססים על האסוציאטיביות והקומוטטיביות של ). עבור תכונה 3 נוכיח את כל אחד מהכיוונים בנפרד. בכיוון הראשון, אם A, B = A אז אם a A = A B אז.A B ולכן a B ובפרט a A a B בכיוון השני, אם A B אז אם a A נובע ש B a ולכן B) (a A a ולכן a A B ולכן.A A B ההוכחה ש A A B טריוויאלית. תכונה 4 נובעת כעת מתכונה 3 כי A לכל A חיסור ומשלים הגדרה 2.10 חיסור קבוצות: {B A\B {x x A x / (החיסור של B מ A מסיר מ A את האיברים ששייכים ל A B ). לעתים מסמנים חיסור גם כ B A אך מכיוון שלסימון זה שימושים ומשמעויות נוספות נעדיף להשתמש בסימן.A\B לעתים קרובות משתמשים בקבוצות בתוך הקשר ספציפי שבו קיימת קבוצה X שמשמשת כ"עולם הייחוס" וכל שאר הקבוצות שמדברים עליהן הן תת קבוצות של X. במקרים אלו קיים מושג של "משלים": הגדרה 2.11 משלים: אם A X אז המשלים של A ביחס ל X מוגדר כ X\A A {x X x / A} = (מסומן לפעמים גם כ A). c שימו לב שמשלים הוא תמיד ביחס לקבוצה X שמכילה את A! הגדרה כמו {A x} / ותו לא תוביל לפרדוקסים. בטענות הבאות אנו מניחים קיום של קבוצה X שמכילה את,A B ומשלים נלקח ביחס אליה (תמיד ניתן להגדיר X = A B כך שאין בעיה בהנחה זו). טענה A\B = A B 2.12 הוכחה: אם x A\B אז x A X ולכן x X בפרט. כמו כן, x / B ולכן בשילוב עם x X נקבל ש B,x ומכאן ש B.A\B A בכיוון השני, אם x A B אז בפרט גם x A וגם,x / B ולכן x A\B ולכן A B A\B כנדרש. הטענה הבאה שימושית במיוחד: טענה 2.13 (כללי דה מורגן): A B = A B.1 A B = A B.2 הוכחה: כמו אסוציאטיביות וקומוטטיביות של איחוד וחיתוך קבוצות, כך גם כללים אלו נובעים מכללים מקבילים עבור ו. נוכיח את כלל 1 במפורש; ההוכחה של כלל 2 דומה. אם x A B אז x X וגם.x / A B מכאן ש A x / וגם x / B (כי אם היה מתקיים x A או x B היה נובע מכך.(x A B מכך ש X x ו A x / נקבל x A ובדומה נקבל x B ולכן,x A B ולכן.A B A B בכיוון השני אם x A B אז x / A וגם x / B וגם.x X משני הראשונים נובע ש B x / A ולכן נקבל ש B x A ולכן A B A B כנדרש. 8

9 2.5.4 קבוצת החזקה ראינו שבהינתן קבוצה A קיימות לה תת קבוצות (בפרט היא תת קבוצה של כל A). אם כן, יש הגיון בדיבור על קבוצת כל תת הקבוצות של A: הגדרה 2.14 קבוצת החזקה של A היא הקבוצה A}.P (A) = {B B בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת קבוצת החזקה מניחה שלכל קבוצה A, הקבוצה (A) P קיימת. לעתים קרובות מסמנים את קבוצת החזקה גם בסימון 2. A אף שסימון זה נראה מבלבל בתחילה יש מאחוריו הגיון שנראה בהמשך, ולאחר מכן אכן נשתמש בסימון זה. דוגמאות: עבור הקבוצה הריקה מתקיים { } = ( ) P, כלומר ( ) P היא קבוצה שכוללת איבר יחיד:. בדומה, { }} {, = ({ }) P.P (P ( )) =.P ({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} זוגות סדורים ומכפלה קרטזית עד כה עסקנו בקבוצות חסרות סדר: {1,2} = {2,1}. כמו כן, אותו איבר לא נספר פעמיים: {1} = {1,1}. עם זאת, במקרים רבים במתמטיקה כן חשוב לנו הסדר ואנו כן רוצים שאותו איבר יופיע מספר פעמים. כיצד ניתן לנסח זאת בפורמליזם שכולל קבוצות בלבד? התשובה היא שללא קושי רב. הגדרה 2.15 זוג סדור b) (a, הוא הקבוצה b}}.(a, b) {{a}, {a, בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת הזוג מתארת את ההנחה שאם,a b איברים אז הקבוצה {b,a} קיימת (ובפרט אם a = b אז הקבוצה {a} קיימת). אין צורך אמיתי לזכור את האופן שבו הגדרנו את הזוג (b,a); מספיק לשים לב לכך שההגדרה עובדת באופן שאנו מצפים ממנה לעבוד: טענה y) 2.16 (a, b) = (x, אם ורק אם x = a וגם.b = y הוכחה: כיוון אחד של ההוכחה טריוויאלי: אם a = x וגם b = y אז y).(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{x}, {x, y}} = (x, עיקר העבודה היא בכיוון השני. נניח כי y),(a, b) = (x, כלומר y}}.{{a}, {a, b}} = {{x}, {x, שתי קבוצות זהות אם יש להן בדיוק את אותם איברים, וכאן יש לנו שתי קבוצות עם שני איברים כל אחת ולכן קורה בדיוק אחד מבין שני מקרים אפשריים: מקרה 1: במקרה זה, {x} {a} = ו { y,a}. {b =,x} מכיוון ש { x } {a} = אז בהכרח a. = x לכן את השוויון השני ניתן לכתוב כ { y.{x, b} = {x, כעת, אם b y אז בהכרח b x או y x (או שניהם). נניח כי,b x אז b הוא איבר שאינו שייך ל { y,x} שכן הוא שונה משני איבריה סתירה. לכן b. = y מקרה :2 במקרה זה y} {a} = {x, ו { b.{x} = {a, מהשוויון הראשון עולה שבהכרח x = y = a אחרת y} {x, היא קבוצה בת שני איברים ובפרט שונה מ { a }. לכן השוויון השני הוא למעשה {b {a} =,a} ולכן מאותו שיקול b. = a = y קיבלנו x = a ו y b = גם במקרה זה. אם,A B הן קבוצות, שימושי מאוד לדבר על אוסף כל הזוגות הסדורים של איבר מ A ואיבר מ B : הגדרה 2.17 המכפלה הקרטזית של A, B היא B} A B {(a, b) a A b הקיום של A B נובע מאקסיומת ההחלפה של תורת הקבוצות האקסיומטית, שאיננו מתארים כרגע במפורש. ניתן להגדיר גם מכפלה בין מספר גדול משתיים של קבוצות, למשל (C A, B) אולם שימו לב שמכפלה זו איננה אסוציאטיבית כי איבר ב ( C A (B הוא מהצורה c)) (a, (b, בעוד שאיבר של (A B) C הוא מהצורה c).((a, b), לכן ננקוט בסימון ) n (a 1, a 2,..., a כדי לתאר את הזוג הסדור ) n,((a 1, a 2,..., a n 1 ), a ונגדיר A 1 A n.{(a 1,..., a n ) i (a i A i )} 9

10 בהמשך נראה כיצד ניתן להרחיב את מושג המכפלה הקרטזית כך שיוגדר לכל אוסף של קבוצות (לאו דווקא סופי) באמצעות פונקציות (שבתורן מוגדרות בעזרת מכפלות קרטזיות, כך שההגדרה הנוכחית לא הייתה לשווא). טענה 2.18 התכונות הבאות של מכפלה קרטזית מתקיימות:.1 = A A = (הקבוצה הריקה מתנהגת כמו אפס ביחס לפעולת הכפל)..2 אם = B A אז = A או = B (אין מחלקי אפס)..3 אם A B אז לכל A C B C,C (מונוטוניות)..4 C (A B) C = A C B עבור \}, {, (דיסטריביוטיביות). הוכחה: טענה 1 נובעת מההגדרה: מכיוון ש / b לכל b, הרי שהתנאי a A b B אינו יכול להתקיים אף פעם ולכן. A ריקה, ובדומה גם A טענה 2 נובעת מכך שאם A אז קיים.a A בדומה, אם B אז קיים,b B ולכן (a, b) A B ולכן B.A הראינו ש ( = B (A B = ) (A =, וזה שקול לוגית למה שרצינו להראות. עבור טענה,3 ניקח,(a, c) A C אז בפרט a A, c C ומכיוון ש B A נקבל a B ולכן (a, c) B C כנדרש. נוכיח את טענה 4 עבור = ; שאר ההוכחות דומות. במקרה זה: (x, y) (A B) C (x A B) (y C) (x A x B) (y C) (x A y C) (x B y C) (x, y) A C (x, y) B C (x, y) A C B C כאן הסתמכנו על דיסטריביוטיביות מעל, שאותה ניתן להוכיח באמצעות טבלת אמת. 2.6 איחודים וחיתוכים כלליים הגדרנו איחוד וחיתוך עבור זוג קבוצות. ניתן להשתמש בהגדרה זו כדי לקבל איחוד וחיתוך של מספר סופי של קבוצות, אולם אין קושי להכליל את ההגדרה אף יותר מכך. נסמן ב F קבוצה של קבוצות (לעתים קבוצה כזו נקראת משפחה כדי להדגיש שמדובר על אוסף של קבוצות ולא של איברים שרירותיים). הגדרה 2.19 (איחוד וחיתוך כלליים): לכל F נגדיר: F A F A {a A F (a A)} F A F A {a A F (a A)} למרות הסימטריה בין שתי ההגדרות, יש בינן מספר הבדלים מהותיים: קיום הקבוצה F אינו מובן מאליו; בתורת הקבוצות האקסיומטית נדרשת אקסיומת האיחוד כדי להניח שהיא אכן קיימת. לעומת זאת, אם X F אז F X ולכן ניתן להגדיר את F כתת קבוצה של X המקיימת תנאי כלשהו ואיך צורך באקסיומה מיוחדת עבורה. עם זאת, אם היינו מרשים שיתקיים = F אז F היה סימון חסר משמעות; מכיוון שאם = F אז התנאי (A A F a) מתקיים באופן ריק בלי תלות ב a אז F הייתה על פי הגדרה זו פשוט קבוצת "כל האיברים" (הקבוצה האוניברסלית) וראינו כבר בפרדוקס של ראסל כי קבוצה זו אינה יכולה להתקיים. לעתים קרובות במקום הסימון A F משתמשים בסימונים אחרים. נציג כאן דוגמה. 10

11 הגדרה 2.20 תהא..., 3 A 1, A 2, A סדרה של קבוצות..lim sup A n k=0 הגבול העליון של הסדרה מוגדר בתור n=k A n.lim inf A n k=0 הגבול התחתון של הסדרה מוגדר בתור n=k A n אינטואיטיבית, גבול עליון הוא "קבוצת כל האיברים ששייכים לאינסוף קבוצות בסדרה" וגבול תחתון הוא "קבוצת כל האיברים כאשר קיים מספור של אברי n=0 ששייכים לכל אברי הסדרה החל ממקום מסוים". דוגמה זו ממחישה את סגנון הכתיבה.F 2.7 בניית המספרים הטבעיים קבוצת המספרים הטבעיים }...,2,0},1 = N היא אחת הקבוצות השימושיות ביותר עבורנו. בשל כך, נציג כעת דרך פורמלית לבנות את איבריה, שגם תסייע לנו בהבנת סימונים והגדרות בהמשך. נניח כי לא ידוע לנו כלל על קיומם של מספרים, ועלינו לבנות את N רק מתוך "אבני הבניין" שפיתחנו עד כה במסגרת תורת הקבוצות. הקבוצה הפשוטה ביותר שראינו (והנחנו את קיומה) היא הקבוצה הריקה. נגדיר אם כך 0. את 1 נוכל להגדיר כעת בתור { }, כלומר קבוצה שמכילה את הקבוצה הריקה. את 2 ניתן להגדיר בתור {{ }}, וכן הלאה; אך גישה זו מועילה פחות מהגישה שנציג. נניח שהגדרנו עד כה את כל המספרים עד n בתור קבוצות (בהתחלה = 0 n). אז נגדיר את 1+n להיות n {n} 1+n. כלומר, + 1 n הוא הקבוצה שמכילה את כל אברי n ובנוסף לכך את n עצמו כאיבר חדש. באופן זה נקבל: 0 = 1 = {0} = {0} = { } 2 = {0} {1} = {0, 1} = {, { }} 3 = {0, 1} {2} = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}} ובאופן כללי נקבל 1} n.n = {0, 1, 2,..., בשיטה זו, הקבוצה שמייצגת את n מכילה בדיוק n איברים, שהם בדיוק n המספרים הטבעיים שקודמים ל n. לבניה זו קיימת הכללה מרחיקת לכת שנציג בהמשך כאשר נדבר על סודרים. 3 יחסים 3.1 מבוא והגדרות כלליות נתחיל מלהתבונן במספר דוגמאות ולהבין את המשותף לכולן: 1 = 1.1 e < π.2 A B.3 4. בגרף G קיים מסלול בין הצמתים u ו v 3.5 מחלק את 15 cos (0) = 1.6 בכל הדוגמאות הללו יש לנו שני איברים שנלקחים מאותו תחום (שני מספרים, שתי קבוצות, שני צמתים בגרף) ובכל דוגמה מתקיים קשר מסויים ביניהם. במתמטיקה משתמשים במילה יחס (Relation) כדי לתאר קשר שכזה. בדוגמה 1 היחס הוא "שווה"; בדוגמה 2 הוא "קטן מ "; בדוגמה 3 הוא "מוכל"; בדוגמה 4 הוא "קיים מסלול בין"; בדוגמה 5 הוא "מחלק" ובדוגמה 6 הוא "ה cos של... שווה ל...". 11

12 אף שמבחינה אינטואטיבית הרעיון ברור, לא לחלוטין ברור איך לפרמל אותו. למשל, את היחס A B מבטאים באמצעות הנוסחה A" "x B x ואילו את היחס x" מחלק את "y מבטאים באמצעות הנוסחה " z : xz = y שנראית שונה למדי, וכן הלאה. למרות שיש עניין בשאלה איך ניתן לתאר את היחס, אפשר לחמוק ממנה כעת באמצעות הגדרה רחבה: הגדרה 3.1 יחס n מקומי R על הקבוצות A 1,..., A n הוא תת קבוצה.R A 1 A n בפרט, יחס דו מקומי (בינארי) R על הקבוצות,A B הוא תת קבוצה R A B ויחס חד מקומי (אונרי) R על הקבוצה.R A הוא פשוט תת קבוצה A כלומר, יחס R על,A B הוא פשוט זוגות (b,a) של איבר מ A ואיבר מ B. אוסף הזוגות הזה הוא שמתאר את היחס: אם,a) (b R אז אומרים ש b,a נמצאים ביחס R ולעתים קרובות מסמנים זאת.aRb אם,a) (b / R אז אומרים ש b,a אינם נמצאים ביחס R. ara זהו יחס השוויון על המספרים הטבעיים. במקום לכתוב R = {(a, a) a N} המוגדר על ידי R N N.1 נהוג לכתוב.a = a דוגמאות.2 N R N המוגדר על ידי 101)} ( , 10, 1) (4,, 2) (1, { = R הוא יחס שכולל בדיוק שלושה זוגות, ואין שום חוקיות ברורה שעומדת מאחוריו. דוגמה זו באה להמחיש את העובדה שניתן לדבר על יחס גם בלי לתת "כלל" שמגדיר אותו.,a. b אינו נכון לאף arb הוא יחס חוקי לכל דבר, אם כי טריוויאלי; ביחס זה, R = המוגדר על ידי R A B 3.,a. b נכון לכל arb גם הוא יחס חוקי לכל דבר, אם כי טריוויאלי: ביחס זה R = A B 4..5 R R R המוגדר על ידי y)}.r = {(x, y) r > 0 : (x + r = זהו היחס < ב"תחפושת" מכאן אנו רואים שניתן להגדיר את אותו היחס במספר דרכים שונות. יחסים דו מקומיים ניתן להרכיב, באופן הבא: הגדרה 3.2 אם R A B ו C S B הם יחסים, אז נגדיר יחס R S A C באופן הבא: R S = {(a, c) b B : (a, b) R (b, c) S} טענה 3.3 הרכבת יחסים היא פעולה אסוציאטיבית. כלומר, אם R 2 A 2 A 3,R 1 A 1 A 2 ו R 3 A 3 A 4 אז.R 1 (R 2 R 3 ) = (R 1 R 2 ) R 3 הוכחה: נניח כי ) 3,(a 1, a 4 ) R 1 (R 2 R אז קיים a 2 A 2 כך ש a 1 R 1 a 2 וגם.a 2 (R 2 R 3 ) a 4 כלומר, קיים a 3 A 3 כך ש a 2 R 2 a 3 וגם.a 3 R 3 a 4 כעת, מכך ש a 1 R 1 a 2 וגם a 2 R 2 a 3 נסיק כי ;a 1 (R 1 R 2 ) a 3 ומכך ש a 3 R 3 a 4 נסיק ש.(a 1, a 4 ) (R 1 R 2 ) R 3 על כן.R 1 (R 2 R 3 ) (R 1 R 2 ) R 3 ההוכחה לכיוון השני דומה. במקרה שבו היחס הוא בין קבוצה לעצמה, ניתן להרכיב יחס עם עצמו: הגדרה 3.4 בהינתן יחס,R A A נגדיר: A} R 0 = {(a, a) a ולכל > 0 n טבעי, n 1.R n = R R R הסגור n=0 Rn כמו כן נגדיר.R קוראים הסגור הטרנזיטיבי של R + ל.R + בנוסף נגדיר 1=n Rn הרפלקסיבי טרנזיטיבי של R. 12

13 3.2 יחסי שקילות הגדרה ודוגמאות במקרים רבים במתמטיקה ישנם שני אובייקטים שאינם זהים זה לזה, אך בתכונות המהותיות שלהן שרלוונטיות עבורנו כן קיימת זהות. במקרים אלו היינו רוצים להחשיב את האיברים כ"שקולים זה לזה". הדרך הפורמלית לעשות כן היא באמצעות יחסי שקילות. לצורך הגדרת יחסי שקילות נזהה את התכונות המהותיות של יחס השוויון, שהוא האב טיפוס שלנו בבואנו להגדיר יחסי שקילות. 1. כל איבר a מקיים תמיד a. = a זהו אולי הרעיון הבסיסי בשוויון כל איבר שווה לעצמו. 2. אם יש לנו משוואה a, = b אז בוודאי שגם המשוואה b = a נכונה המושג של שוויון אינו מושפע מהסדר (בניגוד חריף ליחסים כמו a). < b.3 אם a = b וגם b = c אז נובע מכך ש c.a = שלוש התכונות הללו הן הבסיס להגדרה הכללית של יחס שקילות: הגדרה 3.5 יחס דו מקומי R A A הוא יחס שקילות על הקבוצה A אם הוא מקיים:.1 לכל a A מתקיים ara (רפלקסיביות)..2 bra arb (סימטריה). 3. אם arb וגם brc אז arc (טרנזיטיביות). דוגמאות 1. כצפוי, יחס השוויון הוא יחס שקילות. זהו יחס השקילות הקטן ביותר האפשרי, במובן זה שכל יחס שקילות אחר על אותה קבוצה מכיל אותו. 2. גם היחס R = A A שבו כל זוג איברים הם שקולים הוא יחס שקילות. זהו יחס השקילות הגדול ביותר האפשרי על.A.3 אם A היא קבוצת המשולשים בגאומטריה אוקלידית, אז } 1 בעל אותן זוויות כמו 2 ) 2, 1 ={( R הוא יחס השקילות של דמיון משולשים..4 אם E) G = (V, הוא גרף לא מכוון, אז R V V שמוגדר על ידי {קיים מסלול מ u אל v ב G V ={(u, v) הוא יחס שקילות. 5. אם A היא קבוצת כל האנשים בעולם, אפשר להגדיר יחסי שקילות רבים ושונים: אנשים הם שקולים אם יש להם אותו צבע שיער, או אותו מין, או שהם חיים באותה מדינה, וכן הלאה..6 עבור הקבוצה (R) M n של מטריצות מסדר n n מעל,R היחס } B R = { (A, B) P M n (R) : P 1 AP = הוא יחס שקילות של דמיון מטריצות. נראה בהמשך דוגמאות מהותיות אף יותר, אך קודם נבין יותר לעומק את המבנה שיחס שקילות R משרה על הקבוצה A קבוצת המנה הגדרה 3.6 תהא A קבוצה ו A R A יחס שקילות על A. לכל a A נגדיר את מחלקת השקילות של a ביחס ל R : [a] R {b A arb} [a] R מחלקת השקילות של a היא פשוט אוסף האיברים ששקולים ל a ביחס השקילות R. לרוב נשמיט את ה R מהסימון כשיהיה ברור על איזה יחס שקילות מדובר. לכל זוג איברים,a b הקשר בין [b] [a], הוא פשוט במיוחד: טענה 3.7 תהא A קבוצה ו R יחס שקילות עליה ו A,a b כלשהם. אז: 13

14 אם arb אז [b].[a] = אם לא arb אז = [b] [a] הוכחה: ראשית נניח כי arb ונוכיח כי [b] [a]. = ראשית נוכיח כי arb גורר [b] [a]. יהי [b] c, אז על פי הגדרה.bRc כמו כן, arb על פי הנחתנו ומטרנזיטיביות R נקבל,aRc כלומר [a] c, ולכן [b] [a], כנדרש. בכיוון השני, מכיוון ש R סימטרי ו arb הרי ש bra ולכן ניתן לחזור על ההוכחה שראינו ולקבל [b] [a]. מכאן ש [ b ] [a], = כנדרש. עבור המקרה השני, נוכיח כי אם [b] [a] אז.aRb יהי [b],c [a] כלומר [b],c [a] c כלומר.aRc brc מסימטריית R נקבל,cRb ומטרנזיטיביות R נקבל כעת.aRb מכאן אנו למדים שניתן לתאר מחלקת שקילות בתור [a] לכל איבר a של מחלקת השקילות הזו. כאשר אנו משתמשים ב a לצורך זה, אז a נקרא נציג של מחלקת השקילות. הגדרה 3.8 תהא X קבוצה. משפחה F של קבוצות היא חלוקה של X אם מתקיים: A F A = X.1.2 לכל A F מתקיים A.3 לכל זוג A, B F כך ש B A מתקיים = B A במילים, חלוקה של X היא משפחת קבוצות לא ריקות, זרות בזוגות, שאיחודן הוא בדיוק X. בחלוקה כל איבר של X שייך בדיוק לאחת מבין הקבוצות בחלוקה, ואין קבוצות "מיותרות" (ריקות). כעת אנו מגיעים להגדרה המרכזית, שבזכותה יחסי שקילות הם כל כך חשובים: הגדרה 3.9 תהא A קבוצה ו R יחס שקילות על A. אז נגדיר את קבוצת המנה של A ביחס ל R באופן הבא: A/R {[a] a A}. כלומר, קבוצת המנה של A היא קבוצת מחלקות השקילות של אברי A ביחס ל R. טענה 3.10 אם A קבוצה ו R יחס שקילות על A, אז A/R היא חלוקה של A. a b A שכן בפרט [a] משתתף הוכחה: מכיוון ש R רפלקסיבי אז לכל a A מתקיים ara ולכן [a] a. מכאן ש [ b ] באיחוד (תכונה 1). כמו כן, זה מראה כי כל אברי A/R הם לא ריקים שכן אם [a] הוא איבר כלשהו של,A/R הוא מכיל את a (תכונה 2). עבור תכונה 3 יהיו [b] [a], שתי מחלקות שקילות ב A/R (לא בהכרח שונות). אם arb אז [b] [a], = ואם לא arb אז = [b],[a] כנדרש. נחזור אל מקצת הדוגמאות שראינו ונבין כיצד קבוצת המנה באה לידי ביטוי במקרים אלו: 1. עבור יחס השוויון, {a} [a], = ולכן נקבל {A A/R = {a}} a לכל A. זוהי החלוקה ה"עדינה ביותר" האפשרית של.A 2. עבור היחס R = A A קיימת בדיוק מחלקת שקילות אחת, כלומר.A/R = A זוהי החלוקה ה"גסה ביותר" האפשרית של A. 3. עבור יחס השקילות שהגדרנו על גרף (E G =,V) בו זוג צמתים היו שקולים אם היה מסלול ביניהם, הרי ש V/R היא קבוצת רכיבי הקשירות של G. 4. עבור מטריצות ויחס הדמיון, מחלקות השקילות שנקבל הן מחלקות הצמידות של המטריצות; כשהמטריצות הן מעל שדה סגור אלגברית ניתן לתאר כל מחלקה על ידי נציג קנוני שהוא מטריצה בצורת ז'ורדן. נשים כעת לב לכך שכל חלוקה משרה יחס שקילות: טענה 3.11 תהא F חלוקה של.A נגדיר יחס R A A באופן הבא: B)}.R = {(a, b) B F : (a B b אז R הוא יחס שקילות. 14

15 הוכחה: רפלקסיביות: יהיה a A כלשהו. אז מכיוון ש F היא חלוקה של A, קיימת B F כך ש B a ולכן.aRa סימטריה: יהיו a, b A כך ש arb, כלומר קיים B F כך ש B, a B b אז כמובן ש B b B a ולכן bra (נובע מכך ש קומוטטיבי). טרנזיטיביות: יהיו a, b, c A כך ש arb ו brc. אז קיימות קבוצות B 1, B 2 F כך ש a B 1, c B 2 וכמו כן,b B 1 b B 2 כלומר b B 1 B 2 ובפרט 2.B 1 B מכיוון ש F היא חלוקה, נובע מכך ש B 1 = B 2 ולכן ומכאן ש arc. a, c B דוגמאות נוספות בניית המספרים השלמים והרציונליים: נגדיר על N N את יחס השקילות הבא: x},r = {((a, b), (x, y)) a + y = b + ונסמן.Z N N/R האינטואיציה שלנו היא לחשוב על הזוג (b,a) בתור המספר השלם a, b ולכן שני זוגות (b,a) ו ( y,x) מייצגים את אותו מספר אם,a b = x y כלומר.a + y = b + x את מחלקות השקילות אפשר לתאר באופן הבא בעזרת נציגים קנוניים: Z = a N [(a, 0)] a N [(0, a)] הרכיב השמאלי מתאר לנו את הטבעיים, והרכיב הימני את השליליים (יחד עם אפס). כדי לראות שאכן כל (b,a) שקול לנציג מאחת מהקבוצות, נפריד לשני מקרים: אם a b אז 0) b, (a, b) R (a אם a < b אז a) (a, b) R (0, b בניית הרציונליים מתבצעת באופן דומה באמצעות זוגות של שלמים. האינטואיציה כעת היא שזוג (b,a) עם 0 b ייצג את.ay = bx מתקיים a b = x y ולכן אם, a b פורמלית, נגדיר על {0}) (Z\ Z את יחס השקילות bx},r = {((a, b), (x, y)) ay = ונסמן.Q Z (Z\ {0}) /R כדי לתאר את Q באמצעות נציגים קנוניים, יש להשתמש במושג מתורת המספרים האלמנטרית:,a b Z הם זרים אם לא קיים להם מחלק משותף הגדול מ 1. נסמן זאת = 1 (b.gcd,a) כעת: 1)] [(0, 0} b.q = {[(a, b)] gcd (a, b) = 1 a, הבניה לא שלמה שכן לא הגדרנו את פעולות החשבון על Q, אך זה כבר עניין לקורס בתורת החוגים. בניית Z: n נשים לב כי החלוקה למספרים זוגיים ואי זוגיים של Z משרה, כפי שראינו עבור כל חלוקה, יחס שקילות. האם קיים לו תיאור פשוט? היחס המתבקש הוא {2 R =,a)} (b a mod 2 = b mod כאשר mod היא הפעולה של חלוקה ולקיחת השארית, אך קיים תיאור פשוט יותר: {b R, =,a)} (b a 2 כאשר x y פירושו "x מחלק את y", כלומר קיים.xz = כך ש y z Z ניתן לבצע בניה זו גם באופן כללי: בהינתן n N כלשהו, נגדיר יחס שקילות n על Z באופן הבא: a n b אם ורק אם.n a b נוכיח כי זה אכן יחס שקילות:.1 רפלקסיביות: לכל a Z מתקיים a a = 0 = 0 n ולכן n a a ולכן.a n a.2 סימטריה: אם עבור a, b Z מתקיים,a n b פירוש הדבר ש n,a b = z ולכן b a = ( z) n ולכן.b n a.3 טרנזיטיביות: אם עבור a, b, c Z מתקיים a n b וגם b n c אז קיימים z 1, z 2 כך ש n a b = z 1 ו n.b c = z 2 מכאן ש a c = (a b) + (b c) = z 1 n + z 2 n = (z 1 + z 2 ) n ולכן a n c נסמן.Z n = Z/R נשים לב לכך ש {[ 1 [n.z n = {[0], [1],..., כדי לראות זאת, יהי a Z כלשהו ו n,r = a mod כלומר קיים q Z כך ש r,a = q n + כלומר,a r = q n כלומר.a n r מכיוון ש r הוא השארית בחלוקה ב n, הוא תמיד בתחום 1} n,... 1,.{0, הבניה לא שלמה שכן לא הגדרנו את פעולות החשבון על Z, n אך גם זה כבר עניין לקורס בתורת החוגים. 15

16 בניות טופולוגיות: בטופולוגיה נהוג לבנות מרחבי מנה על ידי "הדבקה" של חלקים מהמרחב יחד. באופן פורמלי הדבר מתבצע על ידי הגדרת יחס שקילות שמזהה את הנקודות שהודבקו יחד. נציג כאן דוגמה פשוטה בלבד: נתבונן בקטע [1,0] = A ו"נדביק" את שני קצותיו יחד על ידי הגדרת יחס שקילות 1)} {(0, 1]} [0, a.r = {(a, a) על קבוצת המנה שמתקבלת A/R ניתן לחשוב כעל מעגל. ניתן לקבל מעגל גם כתוצאה של בניה מחוכמת יותר. נגדיר יחס שקילות על כל R R :R R כך ש = R {Z,a)}. (b a b לא קשה לראות כי,a b שקולים אם ורק אם החלק השברי שלהם (כל מה שמימין לנקודה העשרונית) שווה. גם במקרה זה ניתן לחשוב על R/R (שמסומן לעתים (R/Z כמעגל; באופן ציורי, ניתן לחשוב על הבניה כאילו היא לוקחת את הישר האינסופי R ומלפפת אותו במעגל היחידה אינסוף פעמים (עוד דרך לחשוב על הבניה: R יוצר "ספירלה" בצורת בורג שלאחר מכן משוטחת) 3.3 פונקציות הגדרה ודוגמאות אינטואיטיבית, ניתן לחשוב על פונקציה כמעין "מכונה" או "כלל" שמתרגמים קלט לפלט, כלומר מבצעים תהליך שממיר ערך x לערך אחר y. הדרך הטבעית לתאר פונקציה היא על ידי תיאור הכלל או התהליך הזה, אבל כמו במקרה הכללי של יחסים, גם כאן אנחנו מעדיפים גישה כללית יותר שמתמקדת בתכונות הבסיסיות שצריכות להתקיים ולא בדרך ההגדרה של הפונקציה. הגדרה 3.12 פונקציה f : A B היא יחס דו מקומי f A B המקיים: (קיום) לכל x A קיים y B כך ש f.(x, y) (יחידות) לכל x A ו B,y 1, y 2 אם (x, y 1 ) f וגם (x, y 2 ) f אז.y 1 = y 2 במילים: לכל x A קיים y B יחיד כך ש f.(x, y) הקבוצה A נקראת התחום של הפונקציה והקבוצה B נקראת הטווח של הפונקציה. אם f היא פונקציה נהוג להשתמש בסימון f (x) = y במקום.(x, y) f התחום והטווח של פונקציה הם חלק אינטגרלי מהגדרתה; שתי פונקציות שמכילות בדיוק אותם זוגות אך התחום או הטווח שלהן מוגדרים באופן שונה הן פונקציות שונות (ליתר דיוק, התחום שלהן חייב להיות זהה או שבלתי אפשרי שהן יכילו את אותם זוגות; אך הטווחים יכולים להיות שונים). נציג מספר דוגמאות לפונקציות פשוטות:.R פונקציית הזהות על f (x) = x המוגדרת על ידי f : R R R f : R המוגדרת על ידי f (x) = x 2 העלאה בריבוע. נשים לב לכך שגם ) [0, R g : המוגדרת על ידי g (x) = x 2 היא פונקציית "העלאה בריבוע של מספר ממשי" אך היא איננה זהה ל f מכיוון שהטווח שלהן שונה, וזאת למרות ש f אינה "משתמשת" בטווח הנוסף שיש לה כי איננה מחזירה מספר שלילי (בכל מובן אחר f ו g זהות). (,0] (,0] : f המוגדרת על ידי f (x) = x הפונקציה המחזירה לכל מספר שלם אי שלילי את השורש החיובי שלו. במקרה זה תחום הפונקציה אינו יכול לכלול מספרים שליליים שכן השורש שלהם איננו מספר ממשי. f : A 2 A המוגדרת על ידי {a} f (a) = הפונקציה שמעבירה כל איבר ב A לקבוצה שמכילה רק אותו. f : 2 A 2 A 2 A המוגדרת על ידי f ((B, C)) = B C פונקציה זו מקבלת זוג סדור של שתי תת קבוצות של A ומחזירה את איחודן. 4 f : R 3 R המוגדרת על ידי ) 17 + y f ((x, y, z)) = ( x 2 + z 2, 13, y 3, x פונקציה זו ממחישה כי ניתן לתאר פונקציות מרובות משתנים (ועם פלט מרובה משתנים) גם בעזרת הניסוח ה"מצומצם" שלנו שהסתפק בקבוצה אחת לתחום וקבוצה אחת לטווח. לרוב במקום ((z f,x)),y כותבים לצורך פשטות (z f.,x),y כעת ניתן מספר דוגמאות לנסיונות להגדיר פונקציה באמצעות כלל, שבגלל בעיה בהגדרה אינן מובילות לפונקציה. יש שני דברים עיקריים שיכולים להשתבש: או שהכלל המוצע לא יהיה בעל משמעות עבור כל אברי A, או שיהיו איברים ב A עבורם הכלל מחזיר יותר מפלט אפשרי אחד. עבור "פונקציות" שהוגדרו באמצעות כלל בעייתי שכזה אומרים שהן אינן מוגדרות היטב. f (x) = 1 x אינה מוגדרת ב 0 = x שכן אין משמעות לחלוקה באפס..1 הפונקציה f : R R המוגדרת באמצעות הכלל 16

17 .2 הפונקציה f : (0, ) R המוגדרת באמצעות הכלל f (x) = ± x מחזירה יותר מערך אחד לכל x בתחום (גם ( x וגם x 3. הפונקציה f : Z n Z המוגדרת באמצעות הכלל f ([a]) = a מחזירה יותר מערך אחד לכל מחלקת שקילות, כתלות בנציג שאנו בוחרים למחלקת השקילות. למשל, = 0 ([0]) f ו n f ([n]) = על פי הגדרה זו, אך [n] = [0]. את בעיות 1 ו 2 ניתן לתקן על ידי שינויים לא מהותיים בהגדרות. את המקרה שבו פונקציה f : A B אינה מוגדרת על ערכים מסויימים של A ניתן לתקן בשתי דרכים שונות: או להקטין את התחום של f לתת קבוצה של A שעליה f מוגדרת, או להרחיב את הטווח B על ידי הוספת סימן מיוחד שמשמעותו תהיה "לא מוגדר" למשל, ולהגדיר = (x) f לכל ערך x A שעליו f לא הוגדרה. מכיוון שלרוב אין צורך בדקויות אלו, במרבית המקרים שבהם נתונה פונקציה אשר אינה מוגדרת על כל התחום שלה לרוב מסתפקים בציון הערכים עבורם היא אינה מוגדרת. פונקציות כאלו נקראות פונקציות לא מלאות. בעיה מספר 2 ניתנת לפתרון על ידי שינוי הטווח במקום f : A B ניתן להגדיר ˆf : A 2 B, כך שאם f (x) = y אז {y} fˆ (x) =, ואם ל f יש יותר מפלט אחד על x, אז (x) fˆ תחזיר את קבוצת הפלטים הזו. ניתן גם לטפל באופן זה בפונקציות שאינן מוגדרות על קלטים מסויימים באמצעות ההגדרה = (x) f. כך למשל הפונקציה בבעיה מס' 2 ניתנת לתיאור כ { x fˆ (x) = {,x. לרוב בפועל לא משתמשים פורמלית בהגדרה זו ומסתפקים בדיבור לא פורמלי על פונקציה שיכולה להחזיר מספר פלטים. פונקציות כאלו נקראות פונקציות רב ערכיות פונקציות חד חד ערכיות, פונקציות על ופונקציות הפיכות נפתח בהצגה נוספת של שתי התכונות שעל יחס לקיים כדי שייחשב לפונקציה: (קיום) לכל x A קיים y B כך ש f.(x, y) (יחידות) לכל x A ו B,y 1, y 2 אם (x, y 1 ) f וגם (x, y 2 ) f אז.y 1 = y 2 נציג כעת שתי תכונות שפונקציה יכולה לקיים שהן דואליות לשתי התכונות שלעיל, בהחלפת תפקידי A ו B : הגדרה 3.13 תהא f : A B פונקציה..f (x) = y כלומר,(x, y) כך ש f x A קיים y B היא על אם לכל f f היא חד חד ערכית (חח"ע) אם לכל y B ו A,x 1, x 2 אם (x 1, y) f וגם (x 2, y) f אז,x 1 = x 2 כלומר.x 1 = גורר ש x 2 f (x 1 ) = f (x 2 ) כדי להבין את חשיבותה של ההגדרה, נשים לב שעבור הפונקציה f, שהיא בפרט יחס, ניתן להגדיר את היחס ההפוך.f 1 {(y, x) (x, y) f} 1 f היא פונקציה אם ורק אם f היא חח"ע ועל. טענה 3.14 הוכחה: טריוואלי; תכונת ה"קיום" של 1 f היא בדיוק תכונת ה"על" של f, ותכונת ה"יחידות" של 1 f היא בדיוק תכונת ה"חח"ע" של f. הגדרה 3.15 אם f היא חח"ע ועל אז נאמר ש f היא הפיכה (באופן שקול, f היא הפיכה אם 1 f היא פונקציה). מכיוון שפונקציות הן מקרה פרטי של יחסים, ההגדרה של הרכבה תקפה גם לגביהן: הגדרה 3.16 ההרכבה f g תסומן לרוב כ gf והסימון (x) gf ייצג את האיבר ((x) g. f) שימו לב להבדלי הסימון בהם נקטנו: הסימון f g מתאר את הרכבת היחסים,f, g אך מכיוון שאנו רגילים לחשוב על פונקציות כאילו הן פועלות מימין לשמאל, העדפנו את הסימון gf (ללא ) כדי לתאר את הפונקציה שבה קודם כל f פועלת ואחר כך g פועלת. בהגדרה שלעיל מסתתרת ההנחה ש g f היא אכן פונקציה: טענה 3.17 אם f : A B ו C g : B הן פונקציות, אז ההרכבה שלהן f g היא פונקציה מ A אל.C 17

18 הוכחה: קיום: אם a A הוא איבר כלשהו, אז (a)) c = g (f מקיים.gf (a) = c יחידות: אם g (f (a)) = c 1 וגם,g (f (a)) = c 2 אז מכיוון ש f היא פונקציה, (a) f הוא אותו איבר בשני השווינות, ומכיוון ש g היא פונקציה אז c. 1 = c 2 הגדרה 3.18 פונקצית הזהות על קבוצה A היא פונקציה Id A : A A המקיימת Id A (x) = x לכל.x A טענה 3.19 תהא f : A B פונקציה. אם f חד חד ערכית, אז קיימת g : B A כך ש.gf = Id A אם f על אז קיימת g : B A כך ש.fg = Id B אם f הפיכה אז f 1 f = Id A ו.ff 1 = Id B הוכחה: נניח כי f חח"ע. יהי a A כלשהו (אם = A אז f טריוויאלית ממילא). נגדיר g (y) = { x a x A : f (x) = y x A : f (x) = y במילים, אם קיים x ש f מעבירה ל y, אז x זה יהיה פלט g; אחרת, הפלט יהיה a שרירותי. נשים לב לכך ש g מוגדרת היטב שכן חד חד ערכיות f מבטיחה שאם קיים x שמועבר ל y, הוא יחיד. נניח כי f על. יהי y B כלשהו. קיים x (אחד לפחות) כך ש y f. (x) = נגדיר g. (y) = x כעת מתקיים,fg (y) = f (g (y)) = f (x) = y כנדרש. השוויונות f 1 f = Id A ו ff 1 = Id B נובעים ישירות מההגדרה של 1.f מסקנה 3.20 יהיו,A B קבוצות. קיימת פונקציה f : A B שהיא חח"ע אם ורק אם קיימת פונקציה g : B A שהיא על. הוכחה: אם f : A B חח"ע קיימת g : B A כך ש,gf = Id A כלומר לכל a A מתקיים g ((f (a))) = a ומכאן ש g על. אם g : B A על אז קיימת f : A B כך ש,gf = Id A כלומר אם ) 2 f (a 1 ) = f (a אז = )) 1 a 1 = g (f (a g (f (a 2 )) = a 2 ומכאן ש f חח"ע. דוגמאות: הפונקציה f : R R המוגדרת על ידי f (x) = x 2 איננה חח"ע (כי = 1 ( 1) f (f (1) = ואיננה על (כי ל 1 אין מקור). העובדה שהיא איננה חח"ע באה לידי ביטוי בגרף הפונקציה בכך שקיים קו מאוזן החותך את הפונקציה בשני מקומות; העובדה שהיא איננה על באה לידי ביטוי בכך שקיים קו מאוזן שאינו חותך אותה כלל. הפונקציה f : R R המוגדרת על ידי f (x) = x 3 היא כן חח"ע ועל, ולכן הפיכה; ההופכית שלה מסומנת כ x.f 1 (x) = 3 הפונקציה f : N N המוגדרת על ידי + 1 x f (x) = היא חח"ע אך איננה על, כי אין מקור ל 0. f (x) = x היא על (המקור של y הוא 2y) אך איננה חח"ע כי למשל 2 הפונקציה f : N N המוגדרת על ידי המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל a ). a; הוא הערך השלם התחתון של ( a f (0) = f (1) = 0 לעתים קרובות אנחנו עוסקים ביותר משתי קבוצות שבינן יש פונקציות שהן חח"ע, על והפיכות; לכן המשפט הבא מועיל: טענה 3.21 יהיו A, B, C קבוצות ו B f : A ו C g : B פונקציות. נגדיר h : A C על ידי.h = gf 1. אם,f g הן חח"ע, כך גם h. 18

19 2. אם,f g הן על, כך גם h. 3. אם,f g הן הפיכות, כך גם h. הוכחה: נניח כי ) 2,h (x 1 ) = h (x כלומר )) 2.g (f (x 1 )) = g (f (x מחח"ע g נובע ש ( f (x 1 ) = f (x 2 ומחח"ע f נובע ש.x 1 = x 2 נניח כי c C הוא איבר כלשהו. מכיוון ש g על קיים b B כך ש c g. (b) = מכיוון ש f על קיים a A כך ש b.f (a) = על כן h (a) = g (f (a)) = g (b) = c ולכן h על. הטענה על,f g הפיכות נובעת משתי קודמותיה. קיום פונקציה חח"ע ועל f : A B מעידה על כך ששתי הקבוצות,A B הן במובן מסויים "אותו הדבר". אפשר לחשוב על f כפונקציה ש"משנה את השם" של אברי A, ובאופן זה מתקבלים בדיוק אברי B, כך שניתן לחשוב על,A B כעל "אותה קבוצה עם שמות אחרים לאיברים". זוהי תכונה כה חשובה עד כי ניתן לה שם: הגדרה 3.22 אומרים שקבוצות,A B הן שקולות ומסמנים A B אם קיימת פונקציה f : A B שהיא חח"ע ועל. טענה 3.23 שקילות של קבוצות היא יחס שקילות. הוכחה: לכל קבוצה A A,A עם הפונקציה f (a) = a,f : A A שהיא בבירור חח"ע ועל. אם A = B אז קיימת פונקציה חח"ע ועל,f : A B ולכן קיימת הפונקציה f 1.f 1 : B A היא חח"ע שכן אם ) 2 f 1 (b 1 ) = f 1 (b אז ;b 1 = ff 1 (b 1 ) = ff 1 (b 2 ) = b 2 ו 1 f היא על שכן אם a A הוא איבר כלשהו, אז.B A לכן.a הוא מקור של f (a) ולכן,f 1 f (a) = a אם A B ו C B אז קיימות פונקציות חח"ע ועל f : A B ו C.g : B נגדיר פונקציה h : A C על ידי h. הפיכות כך גם,g כפי שראינו קודם, מכיוון ש f h. = gf קבוצות של פונקציות ומכפלות קרטזיות, גרסה כללית לקבוצת כל הפונקציות f : A B חשיבות רבה עד כדי כך שהיא זוכה לסימון מיוחד: הגדרה B} 3.24.B A {f : A קיומה של B A מובטח מכיוון ש (( B,B A P (P (A שכן כל פונקציה f : A B היא יחס (תת קבוצה של,A B כלומר איבר של B).(P (A סימון זה מבהיר את המשמעות של הסימון (A) : 2 A P ניתן לחשוב על כל תת קבוצה של A בתור פונקציה {1,0} A f : כך ש 1 = (a) f אם ורק אם a שייך לתת הקבוצה המוגדרת באמצעות f (וכפי שראינו, ניתן לחשוב על 2 כעל הקבוצה {1,0}). מעתה ואילך נשתמש בסימון 2 A לתיאור קבוצת החזקה. ראינו בפרק את האופן שבו הוגדרה מכפלה קרטזית של שתי קבוצות, A. B פונקציות. כעת הפונקציות יוכלו להחזיר את החוב ונגדיר באמצעותן מכפלות קרטזיות כלליות. באמצעות הגדרה זו הגדרנו תהא Λ קבוצה כלשהי, שנחשוב על איבריה בתור אינדקסים (למשל, קבוצת המספרים הטבעיים, אך Λ יכולה להיות כל {A l } l Λ (הקבוצה שמותאמת ל Λ l מסומנת קבוצה שהיא). נניח כי קיימת התאמה חח"ע ועל בין Λ לאוסף קבוצות ב.(A l l Λ A l { f : Λ l Λ A l l Λ : f (l) A l } מוגדרת בתור הגדרה 3.25 המכפלה הקרטזית l Λ A l כל איבר במכפלה הקרטזית הוא פונקציה f, שערכה על l Λ הוא האיבר שנמצא בקואורדינטה ה l ית ש f מתארת. נמחיש זאת במספר דוגמאות: עבור 2} {1, = Λ וקבוצות A 1, A 2 נקבל קבוצה איזומורפית למכפלה הקרטזית הרגילה: i {1,2} A i כך שכל איבר בה הוא פונקציה f כך ש f (1) A 1 ו.f (2) A 2 בפרט, אם A, B הן קבוצות כלשהן אז A B ניתן לתיאור במונחי המכפלה הקרטזית i {1,2} A i כך ש B A 1 = A, A 2 = והאיבר (a, b) A B עובר לפונקציה { a i = 1.f (i) = b i = 2 19

20 A n n (דהיינו A i = A לכל i n.(1 את אברי A n לרוב מסמנים i=1 עבור n טבעי וקבוצה A, נגדיר A בפשטות ) n a). 1,..., a לאיבר כזה קוראים לעתים " n יה". נשים לב שניתן להגדיר גם את A n בתור אוסף הפונקציות. n i=1 מהקבוצה 1} n n = {0, 1,..., אל,A ואז מתקבלת קבוצה איזומורפית ל A i N היא אוסף הסדרות האינסופיות עם איברים מתוך A. לעתים מסמנים עבור Λ = N וקבוצה,A המכפלה A מכפלה זו ב A, ω כאשר }...,2,0},1 = ω, ואז סימון זה תואם את ההגדרה של A ω כאוסף הפונקציות מ ω אל A הגדרה אינדוקטיבית של קבוצות בהמשך יהיה נוח לחשוב על f : X n X כעל פונקציה ב n משתנים (1 n), שכל אחד מהם מקבל ערך של איבר ב X. לפונקציה כזו נקרא "פונקציה n ארית". תהא f : X n X פונקציה n ארית מקבוצה לעצמה ו X A תת קבוצה של.X F 1 n XXn כדי לתאר קבוצה של פונקציות הגדרה A 3.26 סגורה תחת f אם.f (A) A כלומר, לכל a A מתקיים.f (a) A מייד נרחיב הגדרה זו לסגירות תחת קבוצות של פונקציות. נשתמש בסימון מ n יות של אברי X (לא בהכרח אותו n לכל הפונקציות בקבוצה) ל X..f (a) A מתקיים f F ו a A כלומר לכל, f F הגדרה A 3.27 סגורה תחת F אם f (A) A נראה מספר דוגמאות ולאחר מכן שימוש חשוב של ההגדרה בבנייה של קבוצות. X, שתיהן סגורות תחת כל פונקציה f באופן טריוויאלי. אם X = R ו N,A = אז A סגורה תחת הפונקציה + 1 x f (x) = ואינה סגורה תחת הפונקציה 1 x f (x) = (למשל, כי A 0 אבל.(f (0) = 1 / A הגדרה 3.28 תהא X קבוצה, B X תת קבוצה של,X ו F n 1 XXn קבוצת פונקציות. {A l } l Λ הוא הקבוצה הנוצרת מתוך הבסיס B על ידי פונקציות היצירה F היא הקבוצה X, B,F l Λ A l כאשר אוסף הקבוצות A l X המקיימות:.B A l.1.f סגורה תחת A l.2 ההגדרה חוקית שכן החיתוך l Λ A l נלקח על פני קבוצה לא ריקה של איברים, שכן X משתתפת בחיתוך. כדי להבין את משמעות ההגדרה, נבין את התכונות ש X B,F מקיימת: משפט 3.29 תהא X B,F X הקבוצה הנוצרת מתוך הבסיס B על ידי פונקציות היצירה F. אז X B,F מקיימת:.B X B,F.1.F סגורה תחת X B,F.2 3. B,F X מינימלית ביחס לשתי התכונות הקודמות, כלומר אם C X היא קבוצה שמקיימת את תכונות 1,2 אז.X B,F C הוכחה: תכונה 1 נובעת מכך ש B A l לכל l Λ בחיתוך שמגדיר את :X B,F אם b B אז b A l לכל l Λ (תכונה 1 בהגדרה), ולכן.b l Λ A l = X B,F תכונה 2 מוכחת באופן דומה: אם f F ו,a X B,F אז a A l לכל,l Λ ולכן f (a) A l (תכונה 2 בהגדרה) ולכן.f (a) l Λ A l = X B,F תכונה 3 נובעת מכך ש אם C מקיימת את תכונות 1,2 אז בפרט C משתתפת בחיתוך שמגדיר את A, ולכן X. B,F C את המינימליות של X B,F ניתן להבין בדרך נוספת: לא קיימים ב X B,F איברים שאינם הכרחיים כדי ש X B,F תקיים את תכונות 1 ו 2. 20